Του Γιώργου Λεκάκη
Εδώ βλέπετε ένα φύλλο, από ένα μαθηματικό κείμενο, σχετικά με τις ιδιότητες των κύκλων, και με αναφορά διαφόρων ελληνικών αξιωματικών αρχών και μεθόδων υπολογισμού για το εμβαδόν ενός κύκλου, με απλά μαθηματικά διαγράμματα.Το κείμενο είναι στα λατινικά. Πρόκειται για ένα εικονογραφημένο χειρόγραφο, σε περγαμηνή, πιθανώς έκδοσις Παρισιού, του 13ου αιώνα. Είναι ένα μονόφυλλο, με διπλή στήλη 68 γραμμών, αναφορές υπογραμμισμένες με κόκκινο χρώμα, σημάδια παραγράφου με κόκκινα, κόκκινα και σκούρα μπλε αρχικά, δύο μικρά διαγράμματα στο άνω περιθώριο ενός κύκλου μέσα σε ένα τετράγωνο, και ενός κύκλου μέσα σε ένα τετράγωνο, με ένα άλλο μικρότερο τετράγωνο μέσα του, 265 με 180 χλστ.
Το κείμενο ξεκινά με αναφορές για τον υπολογισμό της επιφάνειας ενός κύκλου, κατονομάζοντας ως πηγές του:
1ον) Τον Ypocrete (προφανώς τον Ιπποκράτη τον Χίο, περ. 470 – 410 π.Χ., το έργο του επάνω στο θέμα αυτό είναι το μόνο μέρος των γραπτών του που επιβίωσε, μέσα στα του Σιμπιλίου, βοήθησε τον διαχωρισμό της επιφανείας του κύκλου σε διάφορα μέρη, σε ημικύκλιο και τον υπολογισμό του συνολικού όγκου του).
Ο Ιπποκράτης ο Χίος ήταν εκ των μεγαλύτερων Ελλήνων γεωμετρών! Ήταν έμπορος στο επάγγελμα. Περί το 430 π.X. ήλθε στην πόλη των Αθηνών για ν’ ανακτήσει δικαστικώς την περιουσία του, την οποία είχε χάσει κατά τη αιχμαλωσία ενός εκ των πλοίων του από Αθηναίους πειρατές!
Εν Αθήναις εσύχναζε πλησίον διαφόρων φιλοσόφων. Μη ανακτήσας την περιουσία του, ίδρυσε, κατά πάσαν πιθανότητα, για να κερδίζει τα προς το ζην, Σχολή στην οποία εδίδασκε Γεωμετρία. Ίσως ήταν κάτοχος της φιλοσοφίας του Πυθαγόρα. Συνέταξε την πρώτη στοιχειώδη πραγματεία γεωμετρίας, από την οποία, πιθανώς, ο Ευκλείδης ενεπνεύσθη την συγγραφή των στοιχείων του. Αυτός έλεγαν, πρώτος φαντάσθηκε την δια γραμμάτων παράσταση των γεωμετρικών μηνοειδών σχημάτων!
Εν Αθήναις εσύχναζε πλησίον διαφόρων φιλοσόφων. Μη ανακτήσας την περιουσία του, ίδρυσε, κατά πάσαν πιθανότητα, για να κερδίζει τα προς το ζην, Σχολή στην οποία εδίδασκε Γεωμετρία. Ίσως ήταν κάτοχος της φιλοσοφίας του Πυθαγόρα. Συνέταξε την πρώτη στοιχειώδη πραγματεία γεωμετρίας, από την οποία, πιθανώς, ο Ευκλείδης ενεπνεύσθη την συγγραφή των στοιχείων του. Αυτός έλεγαν, πρώτος φαντάσθηκε την δια γραμμάτων παράσταση των γεωμετρικών μηνοειδών σχημάτων!
Ο Ιπποκράτης μετεχειριζόταν την μέθοδο της αναγωγής. Αυτός είναι ο δημιουργός της Γεωμετρίας του κύκλου. Ανακάλυψε ότι οι επί ίσων τόξων ενός κύκλου βαίνουσες γωνίες είναι ίσες, ότι μία είναι γωνία είναι οξεία, ορθή ή αμβλεία, καθ’ όσον το τόξο επί του οποίου βαίνει είναι μικρότερο, ίσον ή μεγαλύτερο της ημιπεριφέρειας. Και πολλές άλλες προτάσεις αναφερόμενες στα στοιχεία του Ευκλείδη. Σε αυτόν αποδίδεται επίσης και η απόδειξις της προτάσεως: «Τα εμβαδά δύο κύκλων έχουν λόγον προς άλληλα, ον λόγον έχουν τα τετράγωνα των διαμέτρων αυτών» (βλ. Ευκλείδη, βιβλ. XII). Αλλά οι μεγαλύτερες αυτού ανακαλύψεις είναι σχετικές με τον τετραγωνισμό του κύκλου και τον διπλασιασμό του κύβου.
Το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου ανήγαγε στον τετραγωνισμό του μηνίσκου (εμβαδού) ΑΒΓΔ περιεχομένου μεταξύ δύο κυκλικών τόξων ανίσου ακτίνος, και δεν κατόρθωσε μεν να τον επιτύχει, αλλά βρήκε το εξής θεώρημα:- «Εάν επί των τριών πλευρών ορθογωνίου τριγώνου, ως διαμέτρων, γράψω μεν ημικύκλια, το άθροισμα των εμβαδών ΑΖΓΗΑ και ΒΔΓΕΒ ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου ΑΓΒ».
Ο Ιπποκράτης ανήγαγε το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου (το δήλιον πρόβλημα) στον διπλασιασμό δύο μέσων x, ψ μεταξύ ενός τμήματος α και του διπλασίου του 2α, δηλ.:
α/χ = χ/ψ = ψ/2α
άρα 2a2 = χψ και ψα = x2 ή x χ3 = 2α3. Την κατασκευή όμως των δύο τούτων αναλόγων τμημάτων χ και ψ δεν κατόρθωσε να βρει. Έτσι παρουσιάζεται και σήμερα ακόμη το δήλιον πρόβλημα…
Ο Ιπποκράτης ο Χίος αντιπροσωπεύει την προ-Ευκλείδεια γεωμετρία. Κατάφερε να αντιστοιχίσει ένα εμβαδόν, σε ορισμένα αρχικά σχεδιασμένα σεληνιακά / μηνοειδή σχήματα. Ωστόσο, προσπάθησε μάταια να το χρησιμοποιήσει αυτό, για να λύσει και το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου. Αν και τα γραπτά του δεν έχουν διασωθεί, μέρη των υπολογισμών του είναι γνωστά από τα γραπτά του Αλεξάνδρου της Αφροδισιάδας[1] Καρίας και του Ευδήμου του Ρόδιου, του τελευταίου μαθητή του Αριστοτέλη. – ΔΙΑΒΑΣΤΕ και D. Herrmann “Die antike Mathematik”, springer, 2024.
2ον) τον Brisso (προφανώς τον Βρίσωνα ή Βρύσωνα, τον Ηρακλειώτη από την ΠοντοΗράκλεια, τέλη 5ου αι. π.Χ., ο οποίος είναι γνωστός κυρίως από την κριτική του Αριστοτέλους για την μέθοδό του για τον υπολογισμό της επιφάνειας ενός κύκλου, σχεδιάζοντας ένα πολύγωνο μέσα σε ένα κύκλο, και αφαιρώντας την περιοχή του, διπλασιάζοντας τις πλευρές του και επαναλαμβάνοντας μέχρι να διακριθεί το πολύγωνο και ο κύκλος.
Αυτός ήταν σύγχρονος και μαθητής του Πυθαγόρα. Σώζεται τμήμα έργου του, από το καθ’ υπαγόρευση (υποβολιμαίο) έργο του «Οικονομικός».
Και
Αυτός ήταν σύγχρονος και μαθητής του Πυθαγόρα. Σώζεται τμήμα έργου του, από το καθ’ υπαγόρευση (υποβολιμαίο) έργο του «Οικονομικός».
Και
3ον) τον Zenone (κατά πάσαν πιθανότητα, Ζηνων), ο οποίος στην πλέον χαμένη του πραγματεία χώρισε σε ισομετρικές μορφές / σχήματα τον κύκλο, και έκανε την πρόταση ότι ένας κύκλος είναι μεγαλύτερος από κάθε κανονικό πολύγωνο ίσου περιγράμματος. Αυτός ο αρχαίος Έλλην γεωμέτρης του 5ου π.X. αι. που άκμασε ολίγον προ του Πλάτωνος, είναι ο συγγραφεύς του αρχαιότερου έργου Γεωμετρίας στον κόσμο! Το έργο του έχει τίτλο «Περί ισόμετρων σχημάτων». Από όλο αυτό εσώθη μια παραβολή! Ο Ζηνόδοτος επιχείρησε να ανατρέψει την κρατούσα θεωρία, ότι οι ίσες περίμετροι περικλείουν ίσες επιφάνειες!
ΠΗΓΗ: Γ. Λεκακης “Ελληνικη Βιβλιογραφια”. ΑΡΧΕΙΟΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ, 20.11.2017.
ΣΗΜΕΙΩΣΙΣ:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ, ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ, ΚΥΚΛΟΣ, ΕΜΒΑΔΟΝ, ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ, ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ, ΧΙΟΣ, ΑΘΗΝΑ, ΠΕΙΡΑΤΕΙΑ, ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ, ΔΙΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΥΒΟΥ, ΔΗΛΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΜΗΝΙΣΚΟΣ, ΒΡΥΣΩΝ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΣ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ, ΖΗΝΩΝ, ΓΑΛΛΙΑ, ΠΑΡΙΣΙ αρχαιοτερο εργο Γεωμετριας στον κοσμο αρχαιοτερος γεωμετρης χαμενα εργα βιβλια φυλλο, αρχαιο ελληνικο μαθηματικο κειμενο, ιδιοτητες του κυκλου ελληνικη αξιωματικη αρχη αξιωμα μεθοδος υπολογισμου εμβαδον κυκλο απλα μαθηματικα διαγραμματα λατινικα εικονογραφημενο χειρογραφο, περγαμηνη εκδοσις εκδοση Παρισι 13ος αιωνας μχ μονοφυλλο, υπογραμμιση κοκκινο χρωμα, σημαδι παραγραφος κοκκινα, σκουρο μπλε αρχικα, αρχιγραμμα διαγραμμα περιθυριο τετραγωνο, επιφάαεια πηγες Ypocrete Ιπποκρατης ο Χιος, 5ος 470 – 410 πΧ εργο γραπτα Σιμπιλιος διαχωρισμος ημικυκλιο ογκος μεγαλυτερος αραιος Ελληνας γεωμετρης εμπορος επαγγελμα 430 πολη Αθηνα δικη περιουσια αιχμαλωσια πλοιο αρχαιοι Αθηναιοι πειρατες δικαστηριο πειρατεια Αθηναι φιλοσοφος ιδρυση Σχολη διδασκαλια Γεωμετριας πυθαγορεια φιλοσοφια Πυθαγορας πρωτη αρχαιοτερη στοιχειωδης πραγματεια γεωμετριας, Ευκλειδης συγγραφη στοιχεια αλφαβητικα γραμματα αλφαβητικο γραμμα αλφαβητο αλφαβητος παρασταση γεωμετρικο μηνοειδες σχημα μηνη σεληνη μεθοδος αναγωγης δημιουργος της Γεωμετριας του κυκλου ανακαλυψη επι ισων τοξων τοξο βαινουσες γωνιες ισες, γωνια οξεια, ορθη αμβλεια, ημιπεριφερεια προταση αποδειξις προτασεως αποδειξη προτασης εμβαδα δυο κυκλων λογος αλληλα, ον λογον τετραγωνα διαμετρων διαμετρος τετραγωνισμος του κυκλου διπλασιασμος κυβου κυβος προβλημα τετραγωνισμου μηνισκος κυκλικο ανισος ανικη ακτινα θεωρημα τρεις πλευρες ορθογωνιο τριγωνο ημικυκλιο αθροισμα εμβαδων ισουται τριγωνου δηλιον μεσος κατασκευη αναλογο τμημα προευκλειδεια γεωμετρια σεληνιακα μηνοειδη σχηματα γραπτο υπολογισμοι Αλεξανδρος Αφροδισιευς Αφροδισιαδας Αφροδισιαδος Αφροδισιαδα Αφροδισιας Καριας καρια Ευδημος Ροδιος ροδος τελευταιος μαθητης Αριστοτελη Αριστοτελης Brisso Βρισωνας Βρυσωνας, Βρισων Βρυσων Ηρακλειωτης ΠοντοΗρακλεια, Ηρακλεια ποντου ποντος ποντιος 5ος κριτικη Αριστοτελους πολυγωνο αφαιρεση περιοχη πλευρων διακριση καθ’ υπαγορευση υποβολιμαιο εργα Οικονομικος Zenone Ζηνωνας χαμενη πραγματεια ισομετρικη μορφη κανονικο πολυγωνο ισο περιγραμμα αρχαιος ελλην Πλατωνας, συγγραφευς αρχαιοτερο εργο κειμενο γεωμετριας στον κοσμο κοσμου Περι ισομετρων σχηματων παραβολη ανατροπη θεωρια, ιση περιμετρος
